Gusci
sottili:
un
approccio computazionale all’ottimizzazione strutturale
Il
caso del Kresge auditorium del MIT
di
Enzo Marino
Relatori: Prof. Ing.
Anno
Accademico: 2005-2006
INTRODUZIONE
Il tema di questa tesi è l’ottimizzazione di strutture a
guscio. In particolare si mettono in evidenza alcuni limiti dei metodi
tradizionali di ricerca della forma e si propone un approccio numerico di
portata ben più generale. Ad ogni modo, l’idea di fondo rimane quella di
interpretare la forma come conseguenza della statica attesa.
Verso la metà
del Novecento si assiste ad una profonda evoluzione della geometria delle
strutture a guscio che vanno costruendosi, la tendenza ad abbandonare geometrie
analiticamente note (cilindri, cupole sferiche, etc), vedi Figura 1, per avvicinarsi a forme libere, la cui risposta
statica fosse quella richiesta, diventa sempre più evidente. Il metodo qui
discusso rappresenta uno strumento efficiente di ricerca della forma e mira al
superamento di alcuni limiti dei metodi tradizionali, collocandosi, così, in
uno scenario molto più ampio in termini di potenzialità e sviluppo. Come
esempio applicativo si sceglie il Kresge auditorium del MIT a Boston, sovente
citato come emblema di una categoria di strutture la cui forma non è quella
ottimale. Viene, quindi, descritto un codice di ottimizzazione numerica sviluppato
in ambiente Matlab
che porta alla designazione di una struttura ottimizzata, di cui si discutono
le principali caratteristiche a confronto con quelle della struttura attuale.
L’ultima parte della tesi è
dedicata ad alcuni elementi di progettazione strutturale, di cui in questa
sintesi si fa solo un cenno, dove si conduce un dimensionamento degli archi di
bordo e del guscio, sia nella configurazione attuale che in quella ottimizzata
designata. Questa parte progettuale è intesa come un momento di verifica nel
quale si coglie il miglioramento in termini di sollecitazioni della struttura
ottimizzata.
MECCANICA DEI GUSCI
Un guscio è una struttura
bidimensionale, cioè con una dimensione, lo spessore, molto inferiore rispetto
sia alle dimensioni planimetriche che ai raggi di curvatura. Il parametro più
importante che caratterizza l'evoluzione dei gusci è proprio il rapporto tra lo
spessore e il raggio medio di curvatura. Basti pensare che questo rapporto per
il Pantheon a Roma vale 1:18, nei gusci moderni arriva fin'oltre 1:1000. Si
veda
Un guscio sottile affida quasi
unicamente la sua resistenza alla rigidezza per forma, grazie alla quale è
possibile coprire grandi luci senza ricorrere a supporti intermedi. Lo stato di
sollecitazione di un guscio è prevalentemente nel piano, detto anche
membranale. Le azioni membranali, quindi, sono unicamente quelle di trazione,
compressione e scorrimento. Lo stato di sollecitazione membranale garantisce
che tutte le fibre materiali che formano la sezione partecipino equamente alla
resistenza e al trasferimento delle tensioni. Questo modo di lavorare delle
fibre è notoriamente più efficiente di una distribuzione di sollecitazioni flessionali,
le quali inducono una distribuzione di tensioni normali variabile lungo la
sezione facendo lavorare al massimo le fibre più esterne e al minimo quelle
prossime all'asse neutro: nello spirito
del minimo strutturale e della resistenza per forma, ciò è quanto si vuole
evitare. Nel caso dei gusci sottili il comportamento membranale è sempre
predominante rispetto a quello flessionale, anche se si verificano variazioni
di condizioni di carico.
Si può asserire che per un guscio ben
progettato che non presenti repentini cambi di curvatura e che abbia condizioni
di vincolo compatibili, una condizione di carico non uniforme, e.g.
antimetrica, purché non vari bruscamente da punto a punto, non induce mai uno
stato flessionale dominante. I gusci con doppia curvatura, in particolare
doppia curvatura positiva, sono più naturalmente predisposti ad assumere tale
comportamento. [1].
Stabilità
La crescente esigenza di coprire
luci sempre maggiori con strutture sempre più leggere porta ad una profonda
evoluzione dei gusci, così, accanto al problema della ricerca della forma, si sviluppa
il tema della stabilità. Una formula approssimata per il calcolo del carico
critico di un duomo sferico soggetto ad una pressione p è la
seguente
|
|
con Ec il modulo di elasticità normale.
Un
sistema efficace per aumentare le risorse strutturali contro l’instabilità è
quello di addensare la massa strutturale lungo delle curve sulla superficie del
guscio, magari ricorrendo alla precompressione, in modo da formare delle vere e
proprie costole di irrigidimento. Ciò permette di incrementare notevolmente il
rapporto spessore-raggio di curvatura, senza peraltro turbare la geometria
globale della struttura. Questo metodo è particolarmente evidente nella
struttura del CNIT a Parigi. Vedi Figura 3.
Nel
progetto del CNIT la geometria globale ha un rapporto di s/R = 1:1750, ma l'effetto delle nervature lo riduce a un valore effettivo
di circa s/R = 1:200. Un approccio differente
consiste nel ridurre i raggi di curvatura localmente: ai bordi, per esempio.
Questo metodo è spesso ricorrente nelle strutture di H. Isler, E. Torroja e
altri. Un esempio ne è il mercato di Algeciras, Andalusia, Spagna del 1934 di Figura 4.
LA RICERCA
DELLA FORMA
Obiettivi della ricerca della forma
Ottimizzare una struttura a
guscio implica principalmente due cose:
§ ricerca della forma
§ distribuzione ottimale dello spessore
Gli obiettivi
dell'ottimizzazione possono essere:
·
Ottenere un
comportamento sufficientemente membranale.
·
Poter considerare tutte
le possibili condizioni al contorno e di carico.
·
Far lavorare i
materiali secondo la loro naturale attitudine, ad esempio annullare le trazioni
nelle fibre di calcestruzzo.
·
Imporre limiti
massimi alle tensioni e agli spostamenti.
·
Evitare la formazione
di fessure.
·
Evitare fenomeni di
instabilità.
·
Avere la possibilità
di privilegiare alcuni aspetti rispetto ad altri, oppure valutare soluzioni di
compromesso.
I metodi che permettono di
raggiungere uno o più degli obiettivi citati sono due:
·
Inversione della membrana appesa
- Metodi sperimentali
- Metodi numerici
·
Ottimizzazione strutturale (ricerca di minimo)
Il modello dell'inversione della
membrana tesa
E' un metodo di ricerca della
forma che ha origini molto lontane nella storia grazie al suo carattere intuitivo
e di facile comprovazione sperimentale. Si pensi alle intuizioni di Poleni e
alla opere di Gaudì, ad esempio.
Si tratta di portare in uno
stato di pura trazione una superficie elastica cha non abbia alcuna rigidezza
flessionale. Raggiunta la configurazione funicolare del carico si inverte la
superficie nella quale, ora, vige la sola compressione. Tale modello è stato fortemente
adottato nella seconda metà del Novecento, e ha trovato la perfezione ad
opera di Heinz Isler.
I
gusci di Isler non solo rappresentano dei capolavori di architettura
strutturale, essi sono anche la prova dell'efficienza e dell’affidabilità che
il metodo dell'inversione della membrana può raggiungere. In Figura 5 e Figura 6 si osservano rispettivamente modelli sperimentali e
numerici di membrana appesa e capovolta.
Alcuni esempi emblematici
dell'applicazione del metodo sperimentale da parte di Heinz Isler sono
riportati nelle Figura 7 e Figura
8.
L'approccio sperimentale, seppur
consolidato dagli eccellenti risultati, presenta alcuni limiti e svantaggi:
- E'
quasi impossibile includere nel modello sperimentale un variazione di spessore.
- Quando
si inverte il modello è possibile che alcune zone compresse si instabilizzino.
Non è
possibile considerare più condizioni di carico se non quella del peso proprio.
- I
dati relativi alle deformazioni e al carico critico non sono immediatamente
rilevabili dal modello sperimentale.
L'evoluzione naturale del metodo
sperimentale dell'inversione della membrana tesa è la simulazione agli elementi
finiti. Senza entrare nel dettaglio, si osserva solo che questo metodo non
aggiunge nulla di nuovo da un punto di vista concettuale rispetto ai metodi
sperimentali. Un interessante esempio si trova in [11].
OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE: RICERCA
DI MINIMO
Questa procedura, sviluppata
nell'ultimo decennio e tuttora al centro del dibattito, si pone come efficace
soluzione ai limiti del metodo della membrana rovesciata. Di fatto si basa su
un problema di ricerca di minimo e dunque necessita di quattro elementi
essenziali:
·
Obiettivi: f
·
Variabili: p
·
Vincoli: g
·
Limiti delle
variabili.
Si possono avere una o più funzioni
obiettivo, ciascuna delle quali rappresentativa di un aspetto che si vuole
scongiurare. Le variabili del problema possono essere tutte quelle dalle quali
dipende la forma della struttura e la distribuzione dello spessore. Le funzioni
obiettivo prescelte vengono espresse in funzione delle variabili designate. I
vincoli sono funzioni, anche non lineari, espresse nelle medesime variabili
delle funzioni obiettivo: possono essere uguaglianze o disuguaglianze. Infine
si definiscono i domini delle variabili designate. Ulteriori dettagli si
trovano in [4], [5], [6], [10].
L'ottimizzazione strutturale
così impostata si presenta come un mezzo estremamente potente che assicura
indiscussi vantaggi rispetto al metodo dell'inversione della membrana, fra cui:
·
Possibilità di
scegliere l'obiettivo, le variabili e i vincoli che si desiderano: la
progettazione diventa molto più libera.
·
Possibilità di
ottimizzare la forma rispetto a diverse condizioni di carico.
·
Possibilità di
un'ottimizzazione multi-obiettivo e gestione dei conflitti con fattori di
importanza.
Ad ogni modo, questa potente
procedura è caratterizzata da aspetti, peraltro intrinseci, che possono essere
definiti svantaggi:
·
Utilizzo di
algoritmi di minimizzazione che non sempre possono essere facilmente controllati.
·
Se le funzioni
obiettivo non sono abbastanza regolari, c'è il rischio dell'individuazione di
minimi relativi.
·
Talvolta un certo
grado di astrazione non garantisce un immediato riscontro fisico sulla
configurazione finale.
Impostazione del problema
L’impostazione di un problema
generico di ottimizzazione può essere posto come segue:
dove
·
è la funzione
obiettivo di cui si cerca il minimo.
·
è l’i-esima
funzione che esprime un vincolo. Per vincolo s’intende una condizione che deve
essere soddisfatta durante la ricerca di minimo. In genere si tratta di
imposizioni sugli spostamenti o stati tensionali in uno o più punti della
struttura.
·
è il vettore
che raccoglie le variabili del problema.
·
e 
sono rispettivamente l’estremo inferiore e superiore del
dominio di definizione della funzione obiettivo.
Nel presente studio si affronta
un problema non vincolato.
IL CASO DI STUDIO: il Kresge
auditorium
L'auditorium è un guscio in
cemento armato progettato da Eero
Saarinen nel 1954. Gli ingegneri furono Amman e 
Whitney.
Il guscio è una porzione di
sfera (1/8) irrigidita ai bordi da tre grandi archi. La struttura è
incernierata in tre punti di 
base, vertici di un triangolo equilatero di lato L. La massima altezza
degli archi è circa 8m, la massima altezza
della calotta è 14,5m circa. La porzione
di sfera è ottenuta dal taglio di quattro piani tre dei quali disposti in modo
tale che le rispettive tracce, ottenute per intersezione con il quarto piano
orizzontale, formino il triangolo equilatero di base. Vedi Figura
10. Dunque il piano di taglio orizzontale coincide con
il piano del terreno. I tre piani di taglio, passanti per l'origine della sfera
di raggio R, sono
inclinati rispetto al piano orizzontale di un angolo β = 54.72°. Cosicché, l'intera
geometria dell'auditorium è completamente definita a partire da
·
R = 34,29m
·
L = 48,5m
La procedura di ottimizzazione ha
come vincolo geometrico le dimensioni del triangolo di base.
Definizione delle funzioni obiettivo
Allo scopo di ridurre la
flessione e incrementare la rigidezza per forma, si sono definite le seguenti
funzioni obiettivo:
·
Energia di
deformazione: 
;
·
Energia di
deformazione specifica:
;
·
Integrale esteso
alla superficie del guscio dei momenti flettenti: 
;
·
Eccentricità massima
della superficie delle pressioni: 
.
Allo scopo di incrementare il
carco critico di instabilità si è scelta la funzione
·
Inverso del
moltiplicatore critico: 
Individuazione delle variabili
Le prime due variabili
geometriche sono il raggio R della sfera e l’angolo di inclinazione β dei piani di
taglio. In Figura 11 si osserva l’effetto sulla geometria della variazione
delle due variabili. La variazione di β induce un cambiamento della geometria in pianta, mentre
la variazione del raggio il raggio comporta sia una variazione planimetrica che
un diverso grado di “ribassamento” del guscio.
Per potenziare le prestazioni
del guscio, verso un comportamento membranale, è necessario che i bordi vengano
modellati con contro-curvature in modo da minimizzare la componente flettente
della sollecitazione e poter fare a meno delle pesanti travi di irrigidimento.
Si definiscono dunque parametri di forma le variabili necessarie a governare
con sufficiente libertà la variazione, e.g. inversione, di curvatura del
guscio.
Superficie attuale:
(1)
Superficie
variabile: 
(2)
- Per 
, cioè lungo i meridiani
passanti per gli appoggi, la curvatura rimane sferica per ogni q, sezione a-a di Figura 12;
- Per 
, cioè lungo i meridiani passanti per la mezzeria dei lati,
l'effetto sulla forma ha massima intensità, sezione b-b di Figura 12. Un esempio dell’andamento del profilo è riportato in
Figura 13.
- 
è il raggio cilindrico con origine nel centro della
struttura.
Uno degli aspetti cruciali della
geometria è la distribuzione dello spessore. Lo spessore dello stato attuale
subisce sensibili incrementi ai bordi e soprattutto agli appoggi. Nel vertice è
di 9cm, ai bordi diventa circa 13cm e a gli appoggi arriva fino a circa
(3)
|
|
|
|
dove
-
è il raggio cilindrico
che misura la distanza in pianta rispetto all'origine;
-
è il multimplo−1 dello spessore in chiave 
che si vuole all'appoggio;
-
opera come il parametro di curvatura
, e regola la distribuzione dello spessore da quello
iniziale (in chiave) a quello finale (agli appoggi).
Nella
seguente tabella si riportano in sintesi tutte le possibili variabili con i
rispettivi valori attuali:
|
Possibili variabili |
Valori attuali |
|
|
Raggio sfera |
R |
34.29 [m] |
|
Inclinazione piani |
β |
54.725° |
|
Spessore al vertice |
sp0 |
9 [cm] |
|
Parametri di distribuzione dello
spessore |
αsp |
5 |
|
ksp |
7 |
|
|
Parametri di forma |
q |
0 |
|
kq |
- |
|
|
Sezioni archi di bordo |
h0 |
50 [cm] |
|
hr |
90
[cm] |
|
Tabella
1: Possibili variabili e rispettivi valori attuali.
INDAGINI PRELIMINARI
Prima
di completare il codice di ottimizzazione si sono condotte delle indagini
parziali finalizzate alla conoscenza della struttura, alla valutazione della
sensibilità rispetto ad alcune variabili anziché altre, alla scelta della
migliore funzione obiettivo, etc. Tali valutazioni preliminari ci permettono
anche di fare delle previsioni qualitative sulla posizione del minimo delle
funzioni obiettivo; dunque si cerca di capire se la scelta degli algoritmi di
minimizzazione e l'impostazione del problema numerico non siano affetti da
errori grossolani che porterebbero a risultati fisicamente scorretti.
Per
ragioni di sintesi si riporta solo un esempio.
Influenza del raggio e dell’inclinazione
dei piani di taglio sull’energia totale di deformazione
Si osserva in Figura 16 come il raggio tende al valore massimo e l’inclinazione dei piani tende
al minimo. E’ altresì evidente che purché R sia grande, l’inclinazione β non è particolarmente influente sulla rigidezza globale
della struttura.
|
|
|
|
Influenza dei parametri di forma sull’energia di
deformazione
Prima di modellare la curvatura
per mezzo della eq. (2), che si è rivelata la più adatta, sono state sviluppate
alcune soluzioni per il controllo delle superfici. 
rispetto alla
struttura attuale.
|
|
|
|
Benché
il carattere di questa configurazione appaia ardito, si osservi che siamo
ancora in una fase conoscitiva del legame forma-statica e, tuttavia, soluzioni
di inversione di curvatura ai bordi, associata all’innalzamento di quota dei
bordi medesimi, sono gia bagaglio culturale di alcuni grandi costruttori. In Figura 19, infatti, si rammentano due casi esemplari: Sicli
Company Building di H. Isler, 1970 e l’Oceanogràfic di Domingo e Làzaro a
Valencia.
PROCEDURA DI OTTIMIZZAZIONE
Struttura
ottimizzata
Riduzione dell’energia di deformazione: 
Benché l’eccentricità massima della
superficie delle pressioni si sia rivelata poco affidabile come funzione
obiettivo, senz’altro a causa del suo carattere puntuale, la rappresentazione
grafica della superficie delle pressioni, sovrapposta alla superficie media del
guscio, è stata particolarmente utile per cogliere l’evoluzione della
comportamento strutturale durate tutta la procedura. Nella Figura 21 si confrontano la configurazione iniziale e quella
finale e si osserva l’evidente riduzione dell’eccentricità della superficie
delle pressioni sia lungo i bordi che nelle zone di vincolo.
Analiticamente la superficie
delle pressione si è calcolata dal rapporto fra una norma del tensore dei
momenti flettenti (in ciascun nodo) e una norma del tensore degli sforzi di
membrana.
con
Confronto della
geometria attuale con quella ottimizzata
In Figura
22 si osserva che per come è stata modellata la
superficie, vedi eq. (2), gli effetti della variazione della geometria si
concentrano nei bordi, i quali, al centro dell’arco, passano da una quota di
8,20m a 16.15m circa dal piano di appoggio. Il raggio della sfera non subisce
sensibili variazioni rispetto alla struttura attuale. Per il confronto completo
delle variabili si veda
La distribuzione dello spessore
non subisce particolari variazioni rispetto alla configurazione attuale.
Confronto della
distribuzione di energia di deformazione della struttura attuale con quella
ottimizzata
L’energia di deformazione
subisce una notevole riduzione non solo quantitativamente, ma anche in termini
di distribuzione. Basta osservare che i bordi, e soprattutto le zone di
vincolo, risultano sensibilmente meno penalizzate. La massima energia di
deformazione passa da 3kJ/m2 a 0.9kJ/m2. L’energia minima
passa da 0.5kJ/m2 a 0.1kJ/m2. Si veda
Confronto degli
spostamenti verticali
L’aumento di rigidezza nella
struttura ottimizzata si coglie confrontando le mappe degli spostamenti verticali.
L’abbassamento massimo passa da 8cm a 1.4cm circa; l’innalzamento massimo passa
da 2cm a 2mm circa. Si veda
La struttura attuale qui confrontata è priva degli archi di irrigidimento, dunque il confronto serve a mettere in evidenza il contributo alla rigidezza offerto solo dall’inversione della curvatura delle zone di bordo. Considerando gli archi di irrigidimento, gli spostamenti verticali delle due configurazioni diventano simili.
Confronto della
distribuzione delle tensioni
Nella struttura ottimizzata si
riducono drasticamente le zone soggette a parzializzazione della sezione e
comunque si registrano tensioni massime di trazione sempre inferiori a 3-4N/mm2.
La struttura attuale, che dispone degli archi di irrigidimento con sezione
variabile da 25x50cm fino a 25x90cm agli appoggi, necessita, oltre che di
un’armatura diffusa in rete elettrosaldata Ø 8/25cm, di
un’armatura aggiuntiva come quella schematizzata in Figura
26.
CONCLUSIONI
I risultati ottenuti per il
Kresge auditorium confermano le potenzialità, l’efficienza e le aspettative del
metodo proposto. Agendo sulla forma e sullo spessore, si è riusciti a
compensare l’assenza dell’irrigidimento degli archi di bordo e ottenere un
comportamento prevalentemente membranale. In questa occasione si è lavorato
principalmente su singole funzioni obiettivo e l’ottimizzazione è 
stata effettuata sotto azioni uniformi, ma in un’ottica
più generale si può concludere con una sintesi sulle prerogative e le
prospettive di sviluppo del metodo descritto:
·
Libertà di scelta
degli obiettivi;
·
Ottimizzazioni
multi-obiettivo;
·
Libertà di scelta
delle variabili.
Le fasi di sviluppo e applicazione
hanno tuttavia messo in luce alcuni aspetti delicati:
·
Non completo
controllo degli algoritmi di minimizzazione;
·
Funzioni
obiettivo non sempre efficaci;
·
Metodi per la
parametrizzazione delle superfici ad hoc.
Sulla base delle potenzialità
del metodo e dai limiti incontrati nascono alcune prospettive di sviluppo:
·
Efficienza degli
algoritmi di minimizzazione;
·
Parametrizzazione
delle superfici con applicabilità generale;
·
Ottimizzazione
con carichi asimmetrici;
·
Combinazione con altri
tipi di ottimizzazione: topologia della massa, etc.
·
Sviluppo in altri
campi dell’ingegneria strutturale: prefabbricazione, etc.
Come
primo passo verso la generalizzazione, si è applicata la procedura ad un guscio
appoggiato su quattro punti: un paraboloide ellittico. La superficie è stata
parametrizzata con una funzione simile alla eq. (2) e anche in questo caso si è
minimizzata l’energia di deformazione. Il risultato è riportato in Figura 27.
Il
caso del paraboloide ellittico nasce solo come esempio di estensione del metodo
ad altre geometrie; il risultato non è da intendersi definitivo in quanto non
sono stati considerati alcuni aspetti importanti come la distribuzione dello
spessore.
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